Question

14．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知$c-acosB=\frac{2}$．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若$b-c=\sqrt{6}$，$a=2\sqrt{3}$，求BC邊上的高．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意和正弦定理以及和差角的三角函數(shù)公式可得cosA，可得A值；
（Ⅱ）由余弦定理和已知數(shù)據(jù)可得bc=6，由等面積可得${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}ah$，代入數(shù)據(jù)解方程可得．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由$c-acosB=\frac{2}$及正弦定理可得$sinC-sinAcosB=\frac{sinB}{2}$，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴$cosAsinB=\frac{sinB}{2}$，
∵在三角形中sinB≠0，$cosA=\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴$A=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可知${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}={b^2}+{c^2}-bc$，
∴12=b²+c²-bc=（b-c）²+bc=6+bc，解得bc=6，
由等面積可得${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}ah$，
代入數(shù)據(jù)$\frac{1}{2}•6•sin\frac{π}{3}=\frac{1}{2}•2\sqrt{3}•h$，
解得$h=\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面積公式和等面積的方法，屬中檔題．