Question

4．已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂+a₄=8．
（Ⅰ）若a₁，a₃，a_m成等比數(shù)列，求m的值；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n+2^a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （I）設(shè)差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₁=2，a₂+a₄=8，可得2×2+4d=8，解得d．可得a_n．由a₁，a₃，a_m成等比數(shù)列，可得${a}_{3}^{2}$=a₁•a_m，即可得出．
（II）b_n=a_n+2^a_n=n+1+2ⁿ⁺¹．利用等差數(shù)列等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₁=2，a₂+a₄=8，∴2×2+4d=8，解得d=1．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
∵a₁，a₃，a_m成等比數(shù)列，∴${a}_{3}^{2}$=a₁•a_m，∴4²=2（m+1），解得m=7．
（II）b_n=a_n+2^a_n=n+1+2ⁿ⁺¹．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和=$\frac{n（2+n+1）}{2}$+$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$=$\frac{{n}^{2}+3n}{2}$+2ⁿ⁺²-4．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．