Question

已知集合A={y|y=x²-6x+9，x∈R且x≠3}，B={x|（m+2）x²+2mx+1≤0}，且A?B，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：由y=x²-6x+9=（x-3）²，若x≠3，則y＞0，
故集合A={y|y=x²-6x+9，x∈R且x≠3}={y|y＞0}，
對于集合B，設(shè)f（x）=（m+2）x²+2mx+1，
（1）當(dāng)m+2=0即m=-2時有-4x+1≤0，即有x≥，所以有A⊆B成立．
（2）當(dāng)m+2≠0，易知須有m+2＞0，即有m＞-2．
①當(dāng)△=（2m）²-4×（m+2）×1＜0時，B=∅，此時A?B成立，
解可得：-1＜m＜2，
②當(dāng)△＞0時，B≠∅，，要有A?B成立，
必有，
解可得：-2＜m≤-1，
綜合①②可得：當(dāng)m+2≠0時，m的取值范圍是-2＜m＜2，
綜合（1）（2）得m的取值范圍是：-2≤m＜2
答：m的取值范圍是：-2≤m＜2．
分析：根據(jù)題意，易得A={y|y＞0}，進(jìn)而對B分類討論，先對二次項系數(shù)m+2是否為0來討論，另外當(dāng)m+2≠0時，然后對判別式分△＜0和△≥0進(jìn)行討論求解，求出m的范圍，綜合可得答案．
點評：本題考查集合的子集的概念，一元二次不等式的解法，在解時，容易漏掉所設(shè)f（x）的最高次項x²系數(shù)為0即m=-2時的情況，也容易遺漏A=∅，即f（x）的判別式△＜0的情形．