Question

8．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為菱形，F(xiàn)為棱BB₁的中點(diǎn)，N為線段AC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：直線MF∥平面ABCD；
（2）求證：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)C₁F交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，由三角形的中位線的性質(zhì)可得NF∥AM，從而證明NF∥平面ABCD．
（2）由A₁A⊥BD，AC⊥BD，可得BD⊥平面ACC₁A₁，由DAMB為平行四邊形，故MA∥BD，故MA⊥平面ACC₁A₁，從而證得平面AFC₁⊥ACC₁A₁．

解答 證明：（1）延長(zhǎng)C₁F交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接AM．
∵F是BB₁的中點(diǎn)，∴F為C₁M的中點(diǎn)，B為CM的中點(diǎn)．
又N是線段AC₁的中點(diǎn)，故NF∥AM．
又NF?平面ABCD內(nèi)，AM?平面ABCD，
∴NF∥平面ABCD．
（2）連BD，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ ，可知A₁A⊥平面ABCD，
又∵BD?平面ABCD，∴A₁A⊥BD．
∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD．
又∵AC∩A₁A=A，AC，A₁A?平面ACC₁A₁，∴BD⊥平面ACC₁A₁．
在四邊形DAMB中，DA∥BM且DA=BM，∴四邊形DAMB為平行四邊形，
故MA∥BD，∴MA⊥平面ACC₁A₁，
又∵M(jìn)A?平面AFC₁，
∴平面AFC₁⊥ACC₁A₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定，考查平面與平面垂直的判斷，考查推理分析與運(yùn)算能力，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．