Question

已知虛數(shù)z₁，z₂是方程x²-4x+m²-3m=0，m∈R的兩根，且滿足|z₁|=

5

．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）設(shè)虛數(shù)z₁，z₂對應(yīng)為F₁，F(xiàn)₂，求以F₁，F(xiàn)₂為焦點且過原點的橢圓的焦距，長軸的長和短軸的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意設(shè)z₁=a+bi，則z₂=a-bi（a，b∈R），再由根與系數(shù)的關(guān)系和|z₁|列出方程組，求出a、b、m；
（2）先由（1）和復數(shù)的幾何意義求出F₁，F(xiàn)₂的坐標，根據(jù)焦點坐標求得橢圓的半焦距c，根據(jù)原點到兩焦點的距離求得長軸，進而求得a，再由a、b、c的關(guān)系求出b，再求出焦距，長軸的長和短軸的長．

解答：解：（1）由題意，設(shè)z₁=a+bi，則z₂=a-bi（a，b∈R）
則

z1+z2=4 z1•z2=m2-3m

，即

a+a=4 a2+b2=m2-3m

，
由|z₁|=

5

得，即a²+b²=5，代入上式得，

a=2 b=±1

，且m²-3m-5=0，
解得m=

3± 29

2

，
（2）由（1）得，z₁=2+i，則z₂=2-i，
∴z₁，z₂對應(yīng)為F₁（2，1）、F₂（2，-1），
則以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓的焦距2c=2，則c=1
又∵橢圓過原點，
∴2a=

22+12

+

22+(-1)2

=2

5

，得a=

5

，
則b=

a2-c2

=2，
綜上，橢圓的焦距，長軸的長和短軸的長分別為：2、2

5

、4．

點評：本題考查了實系數(shù)方程的虛根是共軛復數(shù)，以及韋達定理和復數(shù)的模，橢圓的簡單性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用了橢圓的定義，正確理解實系數(shù)方程的兩虛根的共軛關(guān)系，是解答此類問題的切入點．