Question

設(shè)A、B分別為橢圓=1(a,b＞0)的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且x=4為它的右準(zhǔn)線.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)P為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點(diǎn)M、N，證明點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi).

Answer 1

解：（1）依題意得 a＝2c，=4，解得a=2，c=1，從而b=.

故橢圓的方程為=1.

（2）解法1：由（1）得A（-2，0），B（2，0）.設(shè)M（x₀，y₀）.

∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上，∴y₀=（4-x₀²）.①又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，∴-2＜x₀＜2，

由P、A、M三點(diǎn)共線可以得P（4，）.

從而=（x₀-2，y₀），=（2，）.

∴·=2x₀-4++2=（x₀²-4+3y₀²）②

將①代入②，化簡(jiǎn)得·=（2-x₀）.

∵2-x₀＞0，∴·＞0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，

故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi).

解法2：由（1）得A（－2，0），B（2，0）.

設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則－2＜x₁＜2，－2＜x₂＜2，又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）.依題意，計(jì)算點(diǎn)B到圓心Q的距離與半徑的差

|BQ|²-|MN|²=(-2)²+()²-[(x₁－x₂)²＋(y₁－y₂)²]=（x₁-2）(x₂-2)＋y₁y₂ ③

又直線AP的方程為y=(x+2)，直線BP的方程為y=(x-2).

而兩直線AP與BP的交點(diǎn)P在準(zhǔn)線x＝4上，

∴，即y₂=.                   ④

又點(diǎn)M在橢圓上，則=1，即y₁²=(4-x₁²).   ⑤

于是將④⑤代入③，

化簡(jiǎn)后可得|BQ|²-|MN|²=（2-x₁）(x₂-2)＜0.

從而，點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi).