Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{b_n}中，b₁=a₁，b_n=a_n-a_n-1（n≥2），若a_n+S_n=n．
（1）設(shè)c_n=a_n-1，求證：數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)a_n+S_n=n求出a₁的值，再由a_n+1+S_n+1=n+1和a_n+S_n=n兩式相減可得到2（a_n+1-1）=a_n-1，即=，再由c_n=a_n-1可得到數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列，得證．
（2）先根據(jù)數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列求出數(shù)列{c_n}的通項公式，進而可得到數(shù)列{a_n}的通項公式，然后由b_n=a_n-a_n-1可得到b_n的通項公式．
解答：（1）證明：∵a₁=S₁，a_n+S_n=n，∴a₁+S₁=1，得a₁=．
又a_n+1+S_n+1=n+1，兩式相減得2（a_n+1-1）=a_n-1，即=，
也即=，故數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列．
（2）解：∵c₁=a₁-1=-，
∴c_n=-，a_n=c_n+1=1-，a_n-1=1-．
故當n≥2時，b_n=a_n-a_n-1=-=．
又b₁=a₁=，即b_n=（n∈N^*）．
點評：本題主要考查等比數(shù)列的證明和求數(shù)列的通項公式，考查基礎(chǔ)知識的綜合運用．