【題目】已知橢圓方程，其左焦點(diǎn)、上頂點(diǎn)和左頂點(diǎn)分別為， ， ，坐標(biāo)原點(diǎn)為，且線段， ， 的長(zhǎng)度成等差數(shù)列．

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若過點(diǎn)的一條直線交橢圓于點(diǎn)， ，交軸于點(diǎn)，使得線段被點(diǎn)， 三等分，求直線的斜率．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或．

【解析】試題分析: （Ⅰ）由線段， ， 的長(zhǎng)度成等差數(shù)列,以及,可求得離心率; （Ⅱ）設(shè)直線的方程為，先研究的情況，根據(jù)，求出將直線的方程和橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性可知直線的斜率．

試題解析:（Ⅰ）依題意有，

把上式移項(xiàng)平方并把，代入得，

所以橢圓的離心率．

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，先研究的情況，要使，

則， ，

因此．

將直線的方程和橢圓方程聯(lián)立可得解得

由于點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因此也等于，

由對(duì)稱性可知直線的斜率為或．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四面體中， 底面為的重心， 為線段上一點(diǎn)，且平面，則直線與所成角的余弦值為__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-5:不等式選講

已知，且.

（1）求的最小值；

（2）求的最大值.

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【題目】已知是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線分別與線段交于兩點(diǎn)，且.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）直線與軌跡相交于兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)， ，判斷的面積是否為定值？若是，求出定值，若不是，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】以下關(guān)于命題的說法正確的有（選擇所有正確命題的序號(hào)）.

（1）“若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)”是真命題；

（2）命題“若，則”的否命題是“若，則”；

（3）命題“若都是偶函數(shù)，則也是偶數(shù)”的逆命題為真命題；

（4）命題“若，則”與命題“若，則”等價(jià).

A. （1）（3） B. （2）（3） C. （2）（4） D. （3）（4）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，短軸長(zhǎng)為，直線與橢圓交于、兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與圓相切，探究是否為定值，如果是定值，請(qǐng)求出該定值；如果不是定值，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)如今，“網(wǎng)購”一詞不再新鮮，越來越多的人已經(jīng)接受并喜歡了這種購物方式，但隨之也出現(xiàn)了商品質(zhì)量不能保證與信譽(yù)不好等問題，因此，相關(guān)管理部門制定了針對(duì)商品質(zhì)量與服務(wù)的評(píng)價(jià)體系，現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出成功交易200例，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)：對(duì)商品的好評(píng)率為0.6，對(duì)服務(wù)的好評(píng)率為0.75，其中對(duì)商品和服務(wù)都做出好評(píng)的交易為80次.

（1）依據(jù)題中的數(shù)據(jù)完成下表，并通過計(jì)算說明，能否有99.9%的把握認(rèn)為“商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)”有關(guān)；

（2）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺(tái)上進(jìn)行了5次購物，設(shè)對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列（概率用算式表示）、數(shù)學(xué)期望和方差.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如下圖，三棱柱中，側(cè)面 底面， ,且,O為中點(diǎn).

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦；

（Ⅲ）在上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若不存在，說明理由；若存在，確定點(diǎn)的位置.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn)．
（1）求證：直線BD1∥平面PAC；
（2）求證：直線PB1⊥平面PAC．
（3）求三棱錐B﹣PAC的體積．

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