Question

19．如圖，已知拋物線y=x²+4x+3的頂點為A，拋物線與x軸相交于點B和點C（點B在點C的左側(cè)），與y軸相交于點D，點P為對稱軸直線l上的一個動點，以每秒1個單位長度的速度從拋物線的頂點A向上運動，設(shè)點P運動的時間為t秒．
（1）求點C的坐標；
（2）①當t為2秒時，△PCD的周長最��；
②當t為4±$\sqrt{6}$或4秒時，△PCD是以CD為腰的等腰三角形；（結(jié)果保留根號）
（3）探究點P在運動過程中，是否存在一點P，使△PCD是以CD為斜邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由y=0，解得x=-3或-1，即可得到C的坐標；
（2）①由于CD為定值，只需PC+PD的和最小，由C為B關(guān)于直線x=-2對稱，連接BD，即可得到最小值的點P；②由題意可得PD=CD或PC=CD，運用兩點的距離公式計算即可得到所求；
（3）（3）假設(shè)存在一點P，使△PCD是以CD為斜邊的直角三角形．設(shè)P（-2，n），即有PC⊥PD，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，計算即可得到所求值．

解答 解：（1）拋物線y=x²+4x+3，令y=0，可得x=-3或-1，
即有C（-1，0）；
（2）①由y=0可得B（-3，0），C（-1，0），
由x=0，可得y=3，即D（0，3），
由于CD為定值，只需PC+PD的和最小，
由C為B關(guān)于直線x=-2對稱，連接BD，
即有PC+PD的最小值為BD，
由BD的方程為y=x+3，令x=-2，解得y=1，
即有P（-2，1），
由A（-2，-1），可得t=2秒時周長最�。�
②由題意可得PD=CD或PC=CD，
設(shè)P（-2，m），即有$\sqrt{4+（m-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$或$\sqrt{1+{m}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
解得m=3±$\sqrt{6}$或m=3（-3舍去），
即有t=4±$\sqrt{6}$或4；
（3）假設(shè)存在一點P，使△PCD是以CD為斜邊的直角三角形．
設(shè)P（-2，n），即有PC⊥PD，
可得k_PC•k_PD=-1，即為$\frac{n}{-1}$•$\frac{n-3}{-2}$=-1，
解得n=1或2，
故存在一點P（-2，1）或（-2，2），
使△PCD是以CD為斜邊的直角三角形．
故答案為：2，4±$\sqrt{6}$或4．

點評 本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查三角形的形狀的判斷和運用，注意運用對稱性求最小值，以及直線垂直的條件，考查運算能力，屬于中檔題．