Question

2．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：$f（x+1）=\frac{1}{f（x）}$，x∈（0，1]時，f（x）=2^x，則f（log₂9）等于（　�。�

• A． ..
• B． $\frac{9}{8}$
• C． $\frac{8}{9}$
• D． $\frac{25}{16}$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）滿足：$f（x+1）=\frac{1}{f（x）}$，求出函數(shù)的周期，利用x∈（0，1]時，f（x）=2^x，即可求f（log₂9）的值．

解答 解：函數(shù)f（x）滿足：$f（x+1）=\frac{1}{f（x）}$，
可得：f（x+2）=$\frac{1}{f（x+1）}=f（x）$，
∴函數(shù)的周期T=2．
∴f（log₂9）=f（2+log₂$\frac{9}{4}$）=f（log₂$\frac{9}{4}$）．
∵$1＜lo{g}_{2}\frac{9}{4}$＜2
∴f（1+log₂$\frac{9}{8}$）=$\frac{1}{f（lo{g}_{2}\frac{9}{8}）}$，
∵$0＜lo{g}_{2}\frac{9}{8}＜1$，
∴f（log₂$\frac{9}{8}$）=$\frac{9}{8}$
∴f（log₂9）=$\frac{1}{f（lo{g}_{2}\frac{9}{8}）}$=$\frac{8}{9}$．
故選C．

點評 本題考查了函數(shù)周期的求法，對數(shù)和指數(shù)的基本運用，屬于中檔題．