Question

已知函數(shù)y=f（x）的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線.當(dāng)n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）時(shí)，該圖象是斜率為bⁿ的線段（其中正常數(shù)b≠1），該數(shù)列｛x_n｝由f（x_n）=n（n=1，2，…）定義.

（Ⅰ）求x₁、x₂和x_n的表達(dá)式；

（Ⅱ）求f（x）的表達(dá)式，并寫出其定義域；

（Ⅲ）證明：y=f（x）的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn).

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）解：依題意f（0）=0，又由f（x1）＝1，當(dāng)0≤y≤1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象是斜率為b0＝1的線段，故由 ＝1得x1＝1． 又由f（x2）＝2，當(dāng)1≤y≤2時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象是斜率為b的線段，故由 ＝b，即x2－x1＝得x2＝1＋． 記x0＝0，由函數(shù)y=f（x）圖象中第n段線段的斜率為bn－1，故得 ． 又f（xn）＝n，f（xn－1）＝n－1； ∴xn－xn－1＝（）n－1，n＝1，2，…． 由此知數(shù)列｛xn－xn－1｝為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為． 因b≠1，得xn＝， 即xn＝． （Ⅱ）解：當(dāng)0≤y≤1，從（Ⅰ）可知y=x，即當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x. 當(dāng)n≤y≤n＋1時(shí)，即當(dāng)xn≤x≤xn＋1時(shí)，由（Ⅰ）可知 f（x）=n+bn（x－xn）  （xn≤x≤xn＋1，n＝1，2，3，…）． 為求函數(shù)f（x）的定義域，須對(duì)xn＝（n＝1，2，3，…）進(jìn)行討論. 當(dāng)b＞1時(shí)，； 當(dāng)0＜b＜1時(shí)，n→∞，xn也趨向于無窮大. 綜上，當(dāng)b＞1時(shí)，y=f（x）的定義域?yàn)椋?，）； 當(dāng)0＜b＜1時(shí)，y=f（x）的定義域?yàn)椋?，＋∞． （Ⅲ）證法一：首先證明當(dāng)b＞1，1＜x＜時(shí)，恒有f（x）＞x成立. 用數(shù)學(xué)歸納法證明： （�。┯桑á颍┲�當(dāng)n=1時(shí)，在（1，x2］上，y=f（x）=1+b（x－1），所以f（x）－x=（x－1）（b－1）＞0成立. （ⅱ）假設(shè)n=k時(shí)在（xk，xk＋1］上恒有f（x）＞x成立. 可得f（xk＋1）＝k＋1＞xk＋1， 在（xk＋1，xk＋2］上，f（x）＝k＋1＋bk＋1（x－xk＋1）， 所以f（x）－x=k+1+bk＋1（x－xk＋1）－x＝（bk＋1－1）（x－xk＋1）＋（k＋1－xk＋1）＞0成立. 由（�。┡c（ⅱ）知，對(duì)所有自然數(shù)n在（xn，xn＋1）上都有f（x）＞x成立. 即1＜x＜時(shí)，恒有f（x）＞x． 其次，當(dāng)b＜1，仿上述證明，可知當(dāng)x＞1時(shí)，恒有f（x）＜x成立. 故函數(shù)y=f（x）的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn). 證法二：首先證明當(dāng)b＞1，1＜x＜時(shí)，恒有f（x）＞x成立. 對(duì)任意的x∈（1，）存在xn，使xn＜x≤xn＋1， 此時(shí)有f（x）－f（xn）＝bn（x－xn）＞x－xn（n≥1），∴f（x）－x＞f（xn）－xn． 又f（xn）＝n＞1＋＋…＋＝xn，∴f（xn）－xn＞0， ∴f（x）－x＞f（xn）－xn＞0． 即有f（x）＞x成立. 其次，當(dāng)b＜1，仿上述證明，可知當(dāng)x＞1時(shí)，恒有f（x）＜x成立. 故函數(shù)f（x）的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn).