Question

19．（Ⅰ）求下列各函數(shù)的導數(shù)：
（1）$y=x\sqrt{x}$；
（2）$y=\frac{x^2}{sinx}$；
（Ⅱ）過原點O作函數(shù)f（x）=lnx的切線，求該切線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別運用冪函數(shù)和函數(shù)的除法的求導法則，計算即可得到所求導數(shù)；
（Ⅱ）設切點為T（x₀，lnx₀），求出函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率，求出切點，即可得到所求切線的方程．

解答 解：（Ⅰ）（1）$y=x\sqrt{x}={x^{\frac{3}{2}}}$，∴y′=$\frac{3}{2}$x${\;}^{\frac{3}{2}-1}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{x}$；
（2）$y'=\frac{{（{x^2}）'sinx-{x^2}（sinx）'}}{{{{sin}^2}x}}=\frac{{2xsinx-{x^2}cosx}}{{{{sin}^2}x}}$；
（Ⅱ）設切點為T（x₀，lnx₀），
∵$f'（x）=\frac{1}{x}$，${k_{切線}}=f'（{x_0}）=\frac{1}{x_0}={k_{OT}}=\frac{{ln{x_0}}}{x_0}⇒ln{x_0}=1$，解x₀=e，
所以切點為T（e，1），切線的斜率為$\frac{1}{e}$，
故切線方程為$y=\frac{1}{e}x$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，正確求導和運用點斜式方程是解題的關鍵，屬于基礎題．