Question

11．在△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，sin²$\frac{A-B}{2}$+sinAsinB=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$．
（1）求角C的大�。� 
（2）若b=4，△ABC的面積為6，求邊c的值．

Answer 1

分析 （1）利用降冪公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知等式，可求cosC的值，結(jié)合C的范圍可求C的值．
（2）利用三角形面積公式可求a的值，結(jié)合余弦定理即可求得c的值．

解答 解：（1）sin²$\frac{A-B}{2}$+sinAsinB=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$．
⇒$\frac{1-cos（A-B）}{2}+\frac{2sinAsinB}{2}=\frac{{2+\sqrt{2}}}{4}$，
⇒$\frac{1-cosAcosB-sinAsinB}{2}+\frac{2sinAsinB}{2}=\frac{{2+\sqrt{2}}}{4}$，
⇒$\frac{1-cosAcosB+sinAsinB}{2}=\frac{{2+\sqrt{2}}}{4}$，
⇒$\frac{1-cos（A+B）}{2}=\frac{{2+\sqrt{2}}}{4}$，
⇒$\frac{1-cos（π-C）}{2}=\frac{{2+\sqrt{2}}}{4}$，
⇒$\frac{1+cosC}{2}=\frac{{2+\sqrt{2}}}{4}$，
⇒$cosC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，C=\frac{π}{4}$，
（2）∵$S=\frac{1}{2}absinC=6$，$b=4，C=\frac{π}{4}$，
∴$a=3\sqrt{2}$，
∵c²=a²+b²-2abcosC=10，
∴$c=\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)公式和定理是解題的關(guān)鍵，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．