Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{2x-2}$+$\sqrt{13-x}$的最大值為M．
（I）求兩數(shù)f（x）的定義域和M的值；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)x的值，使得|x-1|+|x+5|≤M？若存在，求出滿足條件的x取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （I）由$\left\{\begin{array}{l}{2x-2≥0}\\{13-x≥0}\end{array}\right.$求定義域，求導(dǎo)并判斷f′（x）=$\frac{2}{2\sqrt{2x-2}}$-$\frac{1}{2\sqrt{13-x}}$在（1，13）上是減函數(shù)，從而確定最大值點(diǎn)，進(jìn)而求最值；
（Ⅱ）由絕對(duì)值的幾何意義知|x-1|+|x+5|≤6=|1-（-5）|，從而解得．

解答 解：（I）由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{2x-2≥0}\\{13-x≥0}\end{array}\right.$，
解得，1≤x≤13，
即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇1，13]；
由于f′（x）=$\frac{2}{2\sqrt{2x-2}}$-$\frac{1}{2\sqrt{13-x}}$在（1，13）上是減函數(shù)，
令$\frac{2}{2\sqrt{2x-2}}$-$\frac{1}{2\sqrt{13-x}}$=0，解得x=9；
故f（x）在[1，9]上是增函數(shù)，在[9，13]上是減函數(shù)；
故M=f（9）=$\sqrt{16}$+$\sqrt{4}$=6；
（Ⅱ）∵|x-1|+|x+5|≤6=|1-（-5）|，
∴-5≤x≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的定義域的求法，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．