Question

已知數(shù)列{a_n}是首項為1的等差數(shù)列，且a_n+1＞a_n（n∈N^*），若a₂，a₄+2，3a₅成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用數(shù)列{a_n}是首項為1的等差數(shù)列，且a_n+1＞a_n（n∈N^*），a₂，a₄+2，3a₅成等比數(shù)列，求出數(shù)列的公差，從而可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用裂項法可求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（Ⅰ）∵a₂，a₄+2，3a₅成等比數(shù)列，∴（a₄+2）²=3a₂a₅，
∵數(shù)列{a_n}是首項為1的等差數(shù)列，∴a_n=1+（n-1）d，
∴3（d+1）²=（1+d）（1+4d）
∴d=2或d=-1，
又a_n+1＞a_n（n∈N^*），∴d＞0，∴d=2
∴a_n=2n-1
（Ⅱ）b_n=

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴S_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項與求和，正確運(yùn)用數(shù)列的求和方法是關(guān)鍵．