Question

已知函數(shù)f（x）=x³+2bx²+cx+1有兩個極值點x₁、x₂，且x₁∈[-2，-1]，x₂∈[1，2]，則f（-1）的取值范圍是（ ）
A．，3]
B．，6]
C．[3，12]
D．，12]

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)極值的意義可知，極值點x₁、x₂是導(dǎo)函數(shù)等于零的兩個根，根據(jù)根的分布建立不等關(guān)系，畫出滿足條件的區(qū)域即可；利用參數(shù)表示出f（-1）的值域，設(shè)z=x+3y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=x+3y過可行域內(nèi)的點A時，從而得到z=x+3y的最大值即可．
解答：解：f'（x）=3x²+4bx+c，（2分）
依題意知，方程f'（x）=0有兩個根x₁、x₂，
且x₁∈[-2，-1]，x₂∈[1，2]
等價于f'（-2）≥0，f'（-1）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．
由此得b，c滿足的約束條件為 （4分）
滿足這些條件的點（b，c）的區(qū)域為圖中陰影部分．（6分）
由題設(shè)知f（-1）=2b-c，
由z=2b-c，
將z的值轉(zhuǎn)化為直線z=2b-c在y軸上的截距，
當直線z=2b-c經(jīng)過點（0，-3）時，z最小，
最小值為：3．
當直線z=2b-c經(jīng)過點C（0，-12）時，z最大，
最大值為：12．
故選C．
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及二元一次不等式（組）與平面區(qū)域和不等式的證明，屬于基礎(chǔ)題．