Question

過(guò)雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)F引它到漸進(jìn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為M，延長(zhǎng)FM交y軸于E，若

FM

=2

ME

，則該雙曲線(xiàn)離心率為（　�。�

• A．

  3

  2

• B．

  6

  2

• C．

  3

• D．3

Answer 1

分析：先利用FM與漸近線(xiàn)垂直，寫(xiě)出直線(xiàn)FM的方程，從而求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用已知向量式，求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，最后由點(diǎn)M在漸進(jìn)線(xiàn)上，代入得a、b、c間的等式，進(jìn)而變換求出離心率

解答：解：設(shè)F（c，0），則c²=a²+b²
∵雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸進(jìn)線(xiàn)方程為y=±

b

a

x
∴垂線(xiàn)FM的斜率為-

a

b

∴直線(xiàn)FM的方程為y=-

a

b

（x-c）
令x=0，得點(diǎn)E的坐標(biāo)（0，

ac

b

）
設(shè)M（x，y），∵

FM

=2

ME

，
∴（x-c，y）=2（-x，

ac

b

-y）
∴x-c=-2x且y=

2ac

b

-2y
即x=

c

3

，y=

2ac

3b

代入y=

b

a

x
得

2ac

3b

=

bc

3a

，即2a²=b²，
∴2a²=c²-a²，
∴

c2

a2

=3，

c

a

=

3

∴該雙曲線(xiàn)離心率為

3

故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，求雙曲線(xiàn)離心率的方法，向量在解析幾何中的應(yīng)用