已知點P(4,4),圓C:(x-m)2+y2=5(m<3)與橢圓E:有一個公共點A(3,1),F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點,直線PF1與圓C相切.

(Ⅰ)求m的值與橢圓E的方程.

(Ⅱ)設Q為橢圓E上的一個動點,求的取值范圍.

答案:
解析:

  解:(Ⅰ)點A代入圓C方程,

  得.∵m<3,∴m=1.圓C. 1分

  設直線PF1的斜率為k,則PF1,即

  ∵直線PF1與圓C相切,∴

  解得. 2分

  當k時,直線PF1x軸的交點橫坐標為,不合題意,舍去.

  當k時,直線PF1x軸的交點橫坐標為-4,

  ∴c=4.F1(-4,0),F2(4,0). 4分

  2aAF1AF2,a2=18,b22.

  橢圓E的方程為:. 6分

  (Ⅱ),設Q(x,y),,

  . 8分

  ∵,即,

  而,∴-18≤6xy≤18.

  則的取值范圍是[0,36]. 10分

  的取值范圍是[-6,6].

  ∴的取值范圍是[-12,0]. 12分


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