Question

3．直線l經過橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{3}=1（{a＞\sqrt{3}}）$的一個焦點和一個頂點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的$\frac{1}{4}$，則該橢圓的長軸長為（　�。�

• A． $\frac{8}{3}$
• B． 4
• C． $\frac{16}{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 由橢圓的方程可知，焦點在x軸上，2b=2$\sqrt{3}$，則直線方程為：$\frac{x}{c}+\frac{y}{\sqrt{3}}=1$，利用點到直線的距離公式可知$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{c}^{2}}+\frac{1}{3}}}$=$\frac{1}{4}$×2$\sqrt{3}$，即可求得c，由a²=b²+c²=4，a=2，橢圓的長軸長2a=4．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{3}=1（{a＞\sqrt{3}}）$，焦點在x軸上，短軸長2b=2$\sqrt{3}$，
直線l經過橢圓的一個頂點和一個焦點，
則直線方程為：$\frac{x}{c}+\frac{y}{\sqrt{3}}=1$，
由橢圓中心到l的距離為其短軸長的$\frac{1}{4}$，
即d=$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{c}^{2}}+\frac{1}{3}}}$=$\frac{1}{4}$×2$\sqrt{3}$，
解得：c=1，
由a²=b²+c²=4，a=2，
橢圓的長軸長2a=4，
故選B．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓的關系，考查點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．