【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等邊三角形，側(cè)面AA1B1B為正方形，且AA1⊥平面ABC，D為線段AB上的一點．
（Ⅰ） 若BC1∥平面A1CD，確定D的位置，并說明理由；
（Ⅱ） 在（Ⅰ）的條件下，求二面角A1D﹣C﹣BC1的余弦值．

【答案】解：（Ⅰ）D為AB的中點，理由如下： 連接AC1 ， 交A1C于點E，可知E為AC1的中點，連接DE，
因為BC1∥平面A1CD，
平面ABC1∩平面A1CD=DE，
所以BC1∥DE，
故D為AB的中點．
（Ⅱ）不妨設(shè)AB=2，分別取BC，B1C1的中點O，O1 ， 連接AO，OO1 ， 可知OB，OO1 ， OA兩兩互相垂直，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．

知 ，
則 ， ，
設(shè)面A1CD的法向量m=（x，y，z），
由 得
令x=1，得A1CD的一個法向量為 ，
又平面BCC1的一個法向量n=（0，0，1），
設(shè)二面角A1D﹣C﹣BC1的平面角為α，
則 ．
即該二面角的余弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）D為AB的中點，理由如下：連接AC1 ， 交A1C于點E，可知E為AC1的中點，連接DE，利用線面平行的性質(zhì)定理、三角形中平行線的性質(zhì)即可得出．（Ⅱ）不妨設(shè)AB=2，分別取BC，B1C1的中點O，O1 ， 連接AO，OO1 ， 可知OB，OO1 ， OA兩兩互相垂直，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．利用線面垂直的性質(zhì)定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得：平面A1CD的法向量 ，又平面BCC1的一個法向量 =（0，0，1），利用向量夾角公式即可得出．

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)f（x）=ex（sinx+cosx）．
（1）如果對于任意的x∈[0， ]，f（x）≥kx+excosx恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）若x∈[﹣ ， ]，過點M（ ，0）作函數(shù)f（x）的圖象的所有切線，令各切點的橫坐標(biāo)按從小到大構(gòu)成數(shù)列{xn}，求數(shù)列{xn}的所有項之和．

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（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
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（3）設(shè)h（x）=f（x+1）+g（x），當(dāng)x≥0，h（x）≥1時，求實數(shù)a的取值范圍．

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【題目】下列四個命題：（1）已知向量 是空間的一組基底，則向量 也是空間的一組基底；（2） 在正方體 中，若點 在 內(nèi)，且 ，則 的值為1；（3） 圓 上到直線 的距離等于1的點有2個；（4）方程 表示的曲線是一條直線.其中正確命題的序號是.

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【題目】如圖，四棱錐 中，底面 為梯形， 底面 ， .過 作一個平面 使得 平面 .

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（2）若平面 與平面 之間的距離為 ，求直線 與平面 所成角的正弦值.

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【題目】某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每生產(chǎn)1噸產(chǎn)品需人工費(fèi)4萬元，每天還需固定成本3萬元.經(jīng)過長期調(diào)查統(tǒng)計，每日的銷售額（單位：萬元）與日產(chǎn)量（單位：噸）滿足函數(shù)關(guān)系，已知每天生產(chǎn)4噸時利潤為7萬元.

（1）求的值；

（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時，每天的利潤最大，最大利潤為多少？

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【題目】如圖，在四棱錐 中， 、 、 均為等邊三角形， .

（Ⅰ）求證： 平面 ；
（Ⅱ）求直線 與平面 所成角的正弦值.

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【題目】某保險公司有一款保險產(chǎn)品的歷史收益率（收益率=利潤÷保費(fèi)收入）的頻率分布直方圖如圖所示：

（Ⅰ）試估計平均收益率；

（Ⅱ）根據(jù)經(jīng)驗，若每份保單的保費(fèi)在20元的基礎(chǔ)上每增加元，對應(yīng)的銷量（萬份）與（元）有較強(qiáng)線性相關(guān)關(guān)系，從歷史銷售記錄中抽樣得到如下5組與的對應(yīng)數(shù)據(jù)：

據(jù)此計算出的回歸方程為.

（i）求參數(shù)的估計值；

（ii）若把回歸方程當(dāng)作與的線性關(guān)系，用（Ⅰ）中求出的平均收益率估計此產(chǎn)品的收益率，每份保單的保費(fèi)定為多少元時此產(chǎn)品可獲得最大收益，并求出該最大收益.

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