Question

10．（1）已知y=f（x）是定義在R的奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù)．求不等式f（4x-5）＞0的解集；
（2）已知偶函數(shù)f（x）（x∈R），當x≥0時．f（x）=x（5-x）+1，求f（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調性的性質進行轉化求解即可．
（2）根據(jù)偶函數(shù)的性質進行轉化求解即可．

解答 解：（1）已知y=f（x）是定義在R的奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù)．
則不等式f（4x-5）＞0等價為f（4x-5）＞f（0），
即4x-5＞0，得x＞$\frac{5}{4}$；
即不等式的解集為（$\frac{5}{4}$，+∞）．
（2）若x＜0，則-x＞0，
則∵當x≥0時．f（x）=x（5-x）+1，
∴f（-x）=-x（5+x）+1，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=-x（5+x）+1=f（x），
即f（x）=x（5+x）-1，
即f（x）在R上的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（5-x）+1，}&{x≥0}\\{0，}&{x=0}\\{x（5+x）-1，}&{x＜0}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用以及函數(shù)解析式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質進行轉化是解決本題的關鍵．