Question

已知定義域?yàn)镽的數(shù)f（x）=-

1

2

+

b

2x+1

是奇函數(shù)
（1）求b的值；
（2）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t²-t）+f（t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可求b的值；
（2）將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系即可求出k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（0）=-

1

2

+

b

2

=0，解得b=1．
（2）當(dāng)b=1時(shí)，f（x）=-

1

2

+

1

2x+1

則（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴不等式f（t²-t）+f（t²-k）＜0等價(jià)為f（t²-t）＜-f（t²-k）=f（k-t²），
∵f（x）是減函數(shù)，
∴不等式等價(jià)為t²-t＞k-t²，
即2t²-t-k＞0，
則判別式△=1+8k＜0，
解得k＜-

1

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及不等式恒成立問題，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．