已知函數(shù)f（x）對任意的x，y∈R，都有f（x）+f（y）=f（x+y）．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）若f（1）=1，且f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，求滿足不等式f（2x-x）+f（x）＞4的x的取值范圍．

解：（1）取y=0，得f（x）+f（0）=f（x+0）=f（x），
∴f（0）=0；
（2）取y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴對任意x∈R，都有f（-x）=-f（x）
由此可得，f（x）是定義在R 上的奇函數(shù)；
（3）∵f（1）=1，可得f（2）=f（1）+f（1）=2
∴f（4）=f（2）+f（2）=2+2=4
不等式f（2x-x）+f（x）＞4，可化成f（2x-x+x）＞f（4），即f（2x）＞f（4），
∵f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴2x＞4，解之得x＞2，
即滿足不等式f（2x-x）+f（x）＞4的x的取值范圍為（2，+∞）．
分析：（1）對已知條件令y=0，結(jié)合等式的性質(zhì)變形整理即可得到f（0）的值；
（2）令y=-x，代入已知條件并結(jié)合f（0）=0化簡整理，即可得到f（-x）=-f（x），得f（x）是定義在R 上的奇函數(shù)；
（3）根據(jù)f（1）=1進(jìn)行賦值，可算出f（4）=4．再根據(jù)條件將不等式f（2x-x）+f（x）＞4整理為f（2x）＞f（4），最后由函數(shù)的單調(diào)性解關(guān)于x的不等式，即可得到滿足不等式的實數(shù)x的取值范圍．
點評：本題給出抽象函數(shù)，探討函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，并求關(guān)于x的不等式的解集．著重考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合、賦值法求抽象函數(shù)的值等知識，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex，直線l的方程為y=kx+b．
（1）求過函數(shù)圖象上的任一點P（t，f（t））的切線方程；
（2）若直線l是曲線y=f（x）的切線，求證：f（x）≥kx+b對任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b對任意x∈[0，+∞）成立，求實數(shù)k、b應(yīng)滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m．
（1）若x2-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠(yuǎn)離2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）證明函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，
1
2
）對稱；
（Ⅱ）設(shè)y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù)，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在實數(shù)b，使得任給a∈[
1
4
，
1
3
]，對任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，則f（f（x））=
1
1

下面三個命題中，所有真命題的序號是
①②③
①②③
．
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立；
③存在三個點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．

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同步練習(xí)冊答案