Question

給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為

a2+b2

的圓是橢圓C的“伴隨圓”．
（1）若橢圓C過點(diǎn)(

5

，0)，且焦距為4，求“伴隨圓”的方程；
（2）如果直線x+y=3

2

與橢圓C的“伴隨圓”有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么請你畫出動(dòng)點(diǎn)Q（a，b）軌跡的大致圖形；
（3）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F₁（-

2

，0）、F₂（

2

，0），橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)M₁滿足|

M1F1

|+|

M1F

2|=2

3

．設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的“伴隨圓”上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l₁、l₂使得l₁、l₂與橢圓C都各只有一個(gè)交點(diǎn)，且l₁、l₂分別交其“伴隨圓”于點(diǎn)M、N．當(dāng)P為“伴隨圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求l₁與l₂的方程，并求線段|

MN

|的長度．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)(

5

，0)代入橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1中可求出a²=5又焦距為4再結(jié)合b²=a²-c²=1可求出b²=1故圓的半徑R=

6

，再由圓心（0，0）寫出圓的方程．
（2）由于直線x+y=3

2

與橢圓C的“伴隨圓”有且只有一個(gè)交點(diǎn)可以得到即

|0+0-3 2 |

12+12

=

a2+b2

即a²+b²=9在結(jié)合a＞b＞0求出a，b的取值范圍即可得到動(dòng)點(diǎn)（a，b）的軌跡方程，再根據(jù)軌跡方程即可做出對應(yīng)的圖象．
（3）由題意得得a=

3

，半焦距c=

2

進(jìn)而求出b²=a²-c²=1所以橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1所以“伴隨圓”的方程為x²+y²=4，再根據(jù)題意知P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）進(jìn)而可根據(jù)題意設(shè)與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)的直線為y=kx+2在與橢圓方程聯(lián)立可求出K的值即可寫出符合條件的直線方程．對于線段|

MN

|的長度可利用|

MN

|，l₂垂直求出．

解答：解：（1）由題意得：

( 5 )2

a2

+

02

b2

=1，則a²=5；
又由焦距為2c=4，所以焦距為b²=a²-c²=1；
故所求的“伴隨圓”的方程為x²+y²=6；
（2）由于橢圓C的“伴隨圓”x²+y²=a²+b²與直線x+y=3

2

有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則圓心到直線的距離等于半徑，
即

|0+0-3 2 |

12+12

=

a2+b2

；
故動(dòng)點(diǎn)Q（a，b）軌跡方程為a²+b²=9（a＞b＞0）
即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是：以原點(diǎn)為圓心半徑為3的圓上八分之一�。ǔ�去兩端點(diǎn)），如圖；
（3）由題意得：2a=2

3

得a=

3

，半焦距c=

2

來了
則b=1橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1“伴隨圓”的方程為x²+y²=4；
文科　因?yàn)椤鞍殡S圓”的方程為x²+y²=4與M、N軸正半軸的交點(diǎn)P（0，2），
設(shè)過點(diǎn)P（0，2），且與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)的直線為y=kx+2，
則

y=kx+2 x2 3 +y2=1

整理得（1+3k²）x²+12kx+9=0；
所以△=144k²-4×9（1+3k²）=0，解得k=±1
所以|

MN

|，l₂的方程為y=x+2，y=-x+2；
由于|

MN

|，l₂垂直，線段|

MN

|的長度為4；

點(diǎn)評：本題雖說給出了“伴隨圓”這個(gè)新定義但是考查的還是橢遠(yuǎn)的有關(guān)知識(shí)：求a，b，c，求橢圓方程，然后橢圓與圓比如第一問，橢圓與直線（比如第二第三問）的綜合問題的考查，最終還是圓錐曲線間的綜合．而解決此類問題一定要看清楚題中的信息和條件還要把問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言比如橢圓C的“伴隨圓”x²+y²=a²+b²與直線x+y=3

2

有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則圓心到直線的距離等于半徑即即

|0+0-3 2 |

12+12

=

a2+b2

還有直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直線與圓錐曲線方程聯(lián)立所構(gòu)成的方程組的解的個(gè)數(shù)問題，這是解決此類問題常用的方法！