精英家教網(wǎng)給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”．
（1）若橢圓C過(guò)點(diǎn)(
5
，0)，且焦距為4，求“伴隨圓”的方程；
（2）如果直線x+y=3
2
與橢圓C的“伴隨圓”有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么請(qǐng)你畫出動(dòng)點(diǎn)Q（a，b）軌跡的大致圖形；
（3）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1（-
2
，0）、F2（
2
，0），橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)M1滿足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的“伴隨圓”上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l1、l2使得l1、l2與橢圓C都各只有一個(gè)交點(diǎn)，且l1、l2分別交其“伴隨圓”于點(diǎn)M、N．當(dāng)P為“伴隨圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求l1與l2的方程，并求線段|
MN
|的長(zhǎng)度．
分析：（1）將點(diǎn)(
5
，0)代入橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1中可求出a2=5又焦距為4再結(jié)合b2=a2-c2=1可求出b2=1故圓的半徑R=
6
，再由圓心（0，0）寫出圓的方程．
（2）由于直線x+y=3
2
與橢圓C的“伴隨圓”有且只有一個(gè)交點(diǎn)可以得到即
|0+0-3
2
|
12+12
=
a2+b2
即a2+b2=9在結(jié)合a＞b＞0求出a，b的取值范圍即可得到動(dòng)點(diǎn)（a，b）的軌跡方程，再根據(jù)軌跡方程即可做出對(duì)應(yīng)的圖象．
（3）由題意得得a=
3
，半焦距c=
2
進(jìn)而求出b2=a2-c2=1所以橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1所以“伴隨圓”的方程為x2+y2=4，再根據(jù)題意知P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）進(jìn)而可根據(jù)題意設(shè)與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)的直線為y=kx+2在與橢圓方程聯(lián)立可求出K的值即可寫出符合條件的直線方程．對(duì)于線段|
MN
|的長(zhǎng)度可利用|
MN
|，l2垂直求出．
解答：解：（1）由題意得：
(
5
)2
a2
+
02
b2
=1，則a2=5；
又由焦距為2c=4，所以焦距為b2=a2-c2=1；
故所求的“伴隨圓”的方程為x2+y2=6；
（2）由于橢圓C的“伴隨圓”x2+y2=a2+b2與直線x+y=3
2
有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則圓心到直線的距離等于半徑，精英家教網(wǎng)
即
|0+0-3
2
|
12+12
=
a2+b2
；
故動(dòng)點(diǎn)Q（a，b）軌跡方程為a2+b2=9（a＞b＞0）
即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是：以原點(diǎn)為圓心半徑為3的圓上八分之一�。ǔ啥它c(diǎn)），如圖；
（3）由題意得：2a=2
3
得a=
3
，半焦距c=
2
來(lái)了
則b=1橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1“伴隨圓”的方程為x2+y2=4；
文科　因?yàn)椤鞍殡S圓”的方程為x2+y2=4與M、N軸正半軸的交點(diǎn)P（0，2），
設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，2），且與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)的直線為y=kx+2，
則
y=kx+2
x2
3
+y2=1
整理得（1+3k2）x2+12kx+9=0；
所以△=144k2-4×9（1+3k2）=0，解得k=±1
所以|
MN
|，l2的方程為y=x+2，y=-x+2；
由于|
MN
|，l2垂直，線段|
MN
|的長(zhǎng)度為4；
點(diǎn)評(píng)：本題雖說(shuō)給出了“伴隨圓”這個(gè)新定義但是考查的還是橢遠(yuǎn)的有關(guān)知識(shí)：求a，b，c，求橢圓方程，然后橢圓與圓比如第一問(wèn)，橢圓與直線（比如第二第三問(wèn)）的綜合問(wèn)題的考查，最終還是圓錐曲線間的綜合．而解決此類問(wèn)題一定要看清楚題中的信息和條件還要把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言比如橢圓C的“伴隨圓”x2+y2=a2+b2與直線x+y=3
2
有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則圓心到直線的距離等于半徑即即
|0+0-3
2
|
12+12
=
a2+b2
還有直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓錐曲線方程聯(lián)立所構(gòu)成的方程組的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，這是解決此類問(wèn)題常用的方法！
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(-
2
，0)、F2(
2
，0)，橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)M1滿足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程
（Ⅱ）試探究y軸上是否存在點(diǎn)P（0，m）（m＜0），使得過(guò)點(diǎn)P作直線l與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)，且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為2
2
．若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（＞b＞0），將圓心在原點(diǎn)O、半徑是
a2+b2
的圓稱為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1．
（Ⅰ）過(guò)橢圓C的“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，求l1，l2的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與X軸正半軸的交點(diǎn)，B，D是橢圓C上的兩相異點(diǎn)，且BD⊥x軸，求
AB
•
AD
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•黃埔區(qū)一模）給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，稱圓心在原點(diǎn)O、半徑是
a2+b2
的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(
2
，0)，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為
3
．
（1）求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；
（2）若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn)，B，D是橢圓C上的兩相異點(diǎn)，且BD⊥x軸，求
AB
•
AD
的取值范圍；
（3）在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷l(xiāng)1，l2是否垂直？并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓m的“伴隨圓”． 若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F2(
2
，0)，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F2距離為
3
．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)P（0，m）（m＜0）的直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為2
2
，求m的值；
（Ⅲ）過(guò)橢圓C“伴橢圓”上一動(dòng)點(diǎn)Q作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個(gè)公共點(diǎn)，試判斷直線l1，l2的斜率之積是否為定值，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F2（
2
，0），其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F2距離為
3
．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)P（0，m）（m＜0）的直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為2
2
，求m的值．

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