Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-（\frac{2}{3}）^{x}，x≤1}\\{f（x-1），x＞1}\end{array}\right.$，則f（x）在區(qū)間（-∞，2015）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 2015
• B． 2016
• C． 2017
• D． 無(wú)數(shù)個(gè)

Answer 1

分析 當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=x²-（$\frac{2}{3}$）^x，由f（x）=f（x-1），x＞1，可得當(dāng)1＜x＜2時(shí)，可將（0，1]的圖象向右平移1個(gè)單位可得；即可得到2014＜x＜2015時(shí)，可將（0，1]的圖象向右平移2014個(gè)單位可得．結(jié)合圖象觀察即可得到交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：作出函數(shù)y=x²，y=（$\frac{2}{3}$）^x，x≤1的圖象．
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=x²-（$\frac{2}{3}$）^x，
由f（x）=f（x-1），x＞1，可得：
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f（x）=f（x-1）=（x-1）²-（$\frac{2}{3}$）^x-1，
可將（0，1]的圖象向右平移1個(gè)單位可得；
2＜x＜3時(shí)，可將（0，1]的圖象向右平移2個(gè)單位可得；
…，2014＜x＜2015時(shí)，可將（0，1]的圖象向右平移2014個(gè)單位可得．
可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3+1×2014=2017，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2017個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的求法，注意運(yùn)用圖象平移，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．