Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}={n^2}$，前n項(xiàng)和記為S_n．
（1）求S₁，S₂，S₃．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：${S_n}=\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件通過n=1，2，3求解S₁，S₂，S₃．即可．
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明即可．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}={n^2}$，前n項(xiàng)和記為S_n．
n=1時(shí)，S₁=a₁=1，
n=2時(shí)，a₂=4，S₁=a₁+a₂=5；
n=2時(shí)，a₃=9，S₁=a₁+a₂+a₃=14；
（2）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，S₁=$\frac{1×2×3}{6}$=1，成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即：${S}_{k}=\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}$成立，
則n=k+1時(shí)，S_k+1=S_k+a_k+1=$\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}+（k+1）^{2}$
=$\frac{k（k+1）（2k+1）+6（k+1）^{2}}{6}$=$\frac{（k+1）（2{k}^{2}+7k+6）}{6}$=$\frac{（k+1）（k+2）（2k+3）}{6}$，
這就是說n=k+1時(shí)等式也成立，
由①②可知：${S_n}=\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$恒成立．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計(jì)算能力．