Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{e^x}{x}$．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)P（2，$\frac{e^2}{2}$）處的切線方程；
（Ⅱ）證明：f（x）＞2（x-lnx）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過導(dǎo)函數(shù)求解切線的斜率，得到切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解切線方程．
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)$g（x）=f（x）-2（x-lnx）=\frac{e^x}{x}-2x+2lnx$，$g'（x）=\frac{{（{e^x}-2x）（x-1）}}{x^2}$，x∈（0，+∞），
設(shè)h（x）=e^x-2x，x∈（0，+∞），求出導(dǎo)函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)的符號，求解g（x）_min=g（1）=e-2＞0，從而證明結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{e^x}{x}$，∴$f'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$，$f'（2）=\frac{e^2}{4}$，又切點(diǎn)為$（2，\frac{e^2}{2}）$，
所以切線方程為$y-\frac{e^2}{2}=\frac{e^2}{4}（x-2）$，即e²x-4y=0．
（Ⅱ）證明：設(shè)函數(shù)$g（x）=f（x）-2（x-lnx）=\frac{e^x}{x}-2x+2lnx$，$g'（x）=\frac{{（{e^x}-2x）（x-1）}}{x^2}$，x∈（0，+∞），
設(shè)h（x）=e^x-2x，x∈（0，+∞），則h'（x）=e^x-2，令h'（x）=0，則x=ln2，
所以x∈（0，ln2），h'（x）＜0；x∈（ln2，+∞），h'（x）＞0．
則h（x）≥h（ln2）=2-2ln2＞0，
令$g'（x）=\frac{{（{e^x}-2x）（x-1）}}{x^2}=0$，可得x=1，
所以x∈（0，1），g'（x）＜0；x∈（1，+∞），g'（x）＞0；
則g（x）_min=g（1）=e-2＞0，從而有當(dāng)x∈（0，+∞），f（x）＞2（x-lnx）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．