Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB=BC=AD．E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為PC中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PE⊥BC；
（Ⅱ）求二面角C-PE-A的余弦值；
（Ⅲ）若四棱錐P-ABCD的體積為4，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，利用已知BC⊥AB，利用線面垂直的判定定理得到BC⊥平面PAB，進(jìn)而利用線面垂直的性質(zhì)得到線線垂直；
（II）利用題中的條件建立空間直角坐標(biāo)系，先寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩平面的法向量的夾角求解二面角的大��；
（III）利用方程的思想及棱錐的體積公式計(jì)算出未知變量的大�。�
解答：解：（Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD∴PA⊥BC
∵∠ABC=90°，∴BC⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵E為AB中點(diǎn)，∴PE?平面PAB．
∴BC⊥PE．

（Ⅱ）建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)AB=1，則B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），，，
由（I）知，BC⊥平面PAE，∴是平面PAE的法向量．
設(shè)平面PEC的法向量為=（x，y，z），則且
∴，=（2，-1，1）
∴，
二面角C-PE-A的余弦值為．
（Ⅲ）連接BC，設(shè)AB=a
∵∴a=2
∵△PAC是直角三角形∴．
點(diǎn)評(píng)：此題中點(diǎn)考查了線面垂直的判定及其性質(zhì)，還考查了利用向量求解二面角的大小，利用方程的思想利用棱錐的體積公式建立方程進(jìn)而求解．