Question

1．晚會(huì)上有5個(gè)不同的歌唱節(jié)目和3個(gè)不同的舞蹈節(jié)目，分別按以下要求各可以排出多少種不同的節(jié)目單：
（1）3個(gè)舞蹈節(jié)目排在一起；
（2）3個(gè)舞蹈節(jié)目彼此分開；
（3）3個(gè)舞蹈節(jié)目先后順序一定；
（4）前4個(gè)節(jié)目中既要有歌唱節(jié)目，又要有舞蹈節(jié)目．

Answer 1

分析 （1）要把3個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起，則可以采用捆綁法，把三個(gè)舞蹈節(jié)目看做一個(gè)元素和另外5個(gè)元素進(jìn)行全排列，不要忽略三個(gè)舞蹈節(jié)目本身也有一個(gè)排列．
（2）3個(gè)舞蹈節(jié)目彼此要隔開，可以用插空法來解，即先把5個(gè)唱歌節(jié)目排列，形成6個(gè)位置，選三個(gè)把舞蹈節(jié)目排列．
（3）使用倍分法分析：先求出8個(gè)節(jié)目全排列的排法數(shù)目，分析三個(gè)舞蹈節(jié)目本身的順序，由倍分法計(jì)算可得答案，
（4）先不考慮限制條件，8個(gè)節(jié)目全排列有A₈⁸種方法，前4個(gè)節(jié)目中要有舞蹈的否定是前四個(gè)節(jié)目全是唱歌有A₅⁴A₄⁴，用所有的排列減去不符合條件的排列，得到結(jié)果．

解答 解：（1）根據(jù)題意，3個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起，可以把三個(gè)舞蹈節(jié)目看做一個(gè)元素，三個(gè)舞蹈節(jié)目本身有A₃³種順序，
再和另外5個(gè)元素進(jìn)行全排列，
則有A₆⁶A₃³=4320不同的節(jié)目單，
 （2）3個(gè)舞蹈節(jié)目彼此要隔開，可以用插空法來解，
先把5個(gè)唱歌節(jié)目排列，形成6個(gè)位置，選三個(gè)把舞蹈節(jié)目排列，
有A₅⁵A₆³=14400不同的節(jié)目單．
（3）8個(gè)節(jié)目全排列有A₈⁸=40320種方法，其中三個(gè)舞蹈節(jié)目本身有A₃³種順序，
若3個(gè)舞蹈節(jié)目先后順序一定，
則有$\frac{{A}_{8}^{8}}{{A}_{3}^{3}}$=6720種不同排法；
（4）∵8個(gè)節(jié)目全排列有A₈⁸=40320種方法，
若前4個(gè)節(jié)目中“既要有歌唱節(jié)目，又要有舞蹈節(jié)目”的否定是前四個(gè)節(jié)目全是唱歌有A₅⁴A₄⁴，
∴前4個(gè)節(jié)目中要有舞蹈有A₈⁸-A₅⁴A₄⁴=37440不同的節(jié)目單．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列、組合的應(yīng)用，要掌握常見問題的處理方法，如相鄰問題用捆綁法．