Question

16．已知w＜0且|w|＜1函數(shù)$f（x）=sin（wx+\frac{π}{4}）$．
（1）若$w=-\frac{1}{2}$，求函數(shù)f（x）的最小正周期，對稱中心，對稱軸．
（2）若f（x）在$（\frac{π}{2}，π）$上單調(diào)遞減，求w的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)最小正周期公式直接求解周期，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解對稱中心，對稱軸．
（2）將內(nèi)層函數(shù)放到正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間上，求解出單調(diào)減區(qū)間，根據(jù)在$（\frac{π}{2}，π）$上單調(diào)遞減，建立不等式可得w的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=sin（wx+\frac{π}{4}）$．
若$w=-\frac{1}{2}$，可得f（x）=sin（$-\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{|ω|}=4π$，
由$-\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$=kπ，（k∈Z）
得：x=$\frac{π}{2}$-2kπ
∴對稱中心位（$\frac{π}{2}$-2kπ，0），（k∈Z）．
由$-\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$=kπ$+\frac{π}{2}$，（k∈Z）
得：x=$-\frac{π}{2}-2kπ$，
∴對稱軸方程為：x=$-\frac{π}{2}-2kπ$，（k∈Z）．
（2）由函數(shù)$f（x）=sin（wx+\frac{π}{4}）$．
∵w＜0且|w|＜1，
∴f（x）=-sin（-ωx-$\frac{π}{4}$）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減為：-$\frac{π}{2}+2kπ≤$-ωx-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$．
解得：$\frac{π}{4ω}+\frac{2kπ}{ω}≥x≥-\frac{3π}{4ω}+\frac{2kπ}{ω}$，（k∈Z）．
∵f（x）在$（\frac{π}{2}，π）$上單調(diào)遞減，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4ω}+\frac{2k}{ω}≥\frac{1}{2}}\\{-\frac{3}{4ω}+\frac{2k}{ω}≤1}\end{array}\right.$，可得：$-\frac{3}{4}+2k≤ω≤\frac{1}{2}+4k$．
∵w＜0且|w|＜1，
當(dāng)k=0時(shí)，可得$-\frac{3}{4}≤ω＜0$．
∴w的取值范圍是[$-\frac{3}{4}$，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，屬于中檔題．