【題目】在三棱柱中,⊥底面,,,為線段上一點.

(Ⅰ)若,求所成角的余弦值;

(Ⅱ)若,求與平面所成角的大;

(Ⅲ)若二面角的大小為,求的值.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)30°;(Ⅲ)1.

【解析】

(Ⅰ)以為原點,軸,軸,軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出所成角的余弦值;

(Ⅱ)設,由,得,從而,求出平面的法向量,由此能求出與平面所成角的大小.

(Ⅲ)求出平面的法向量和平面的法向量,利用同量法能求出當二面角的大小為時,的值.

解:(Ⅰ)三棱柱中,⊥底面

,為線段上一點,

為原點,軸,軸,軸,建立空間直角坐標系,

,則,

,∴,

,,

所成角為

所成角的余弦值為:,

(Ⅱ)設,由,

解得:,

,

與平面所成角為

∵平面的法向量為,

與平面所成角的大小為30°.

(Ⅲ)設,

,

設平面的法向量

,即

,得

平面的法向量,

∵二面角的大小為,

,

解得:,

,即的中點,

,即,

∴當二面角的大小為時,

練習冊系列答案
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(參考數(shù)據(jù)),, .

,,,.

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