Question

(本小題12分)設(shè)函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若=1 ,為整數(shù),且當(dāng)0時(shí),，求的最大值.

 

Answer 1

（1）若，則，此時(shí)函數(shù)在R上單調(diào)遞增；

若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.

（2）整數(shù)的最大值為2.

【解析】

試題分析：（1）首先根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式可判斷其定義域，然后對其進(jìn)行求導(dǎo)可得，由于導(dǎo)函數(shù)中含有參數(shù)，將其分為兩種情況：①，此時(shí)易判斷出函數(shù)在R上單調(diào)遞增；②，可求出其極值點(diǎn)，然后判斷函數(shù)在極值點(diǎn)的左右兩側(cè)的單調(diào)性即可；

（2）首先將問題“當(dāng)0時(shí),”轉(zhuǎn)化為“恒成立，其中”，即，記，求其導(dǎo)函數(shù)，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且在上存在唯一的零點(diǎn)，即在上存在唯一的零點(diǎn).從而得出函數(shù)的最小值并求出其取值范圍，進(jìn)而得出整數(shù)的最大值.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以.

若，則，此時(shí)函數(shù)在R上單調(diào)遞增；

若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015030206003416633915/SYS201503020600393696552625_DA/SYS201503020600393696552625_DA.025.png">，所以，所以當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，其中.

令，則.

由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，所以在上存在唯一的零點(diǎn)，故在上存在唯一的零點(diǎn).設(shè)此零點(diǎn)為，則.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上的最小值為.又由可得，，所以，所以，故整數(shù)的最大值為2.

考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的最值中的應(yīng)用.