Question

16．已知向量$\overrightarrow{OB}$=（3，0），$\overrightarrow{OC}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{CA}$=（cosα，sinα）（α∈R），則$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$夾角的取值范圍是（　�。�

• A． [0，$\frac{π}{4}$]
• B． [$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$]
• C． [$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]
• D． [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]

Answer 1

分析 判斷出動(dòng)點(diǎn)A的軌跡為圓，畫出圖象，結(jié)合圖象得到當(dāng)OA與圓相切時(shí)，向量的夾角取得最值，解直角三角形OAC得到∠COB=$\frac{π}{4}$，∠COA=$\frac{π}{6}$，求出夾角的最值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{CA}$|=1
點(diǎn)A的軌跡是C為圓心，以1為半徑的圓，
當(dāng)OA與圓相切時(shí)，$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$夾角取得最值，
∵$\overrightarrow{OC}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴∠COB=$\frac{π}{4}$，∠COA=$\frac{π}{6}$
∴$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$夾角的夾角的最小值為∠AOB=∠COB-∠COA=$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{12}$，
$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$夾角的夾角的最大值為∠AOB=∠COB+∠COA=$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{12}$，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用圓的定義判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡、結(jié)合圖象求出最值、考查數(shù)學(xué)結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．