Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{x-1}，x≠1}\\{1，x=1}\end{array}\right.$，則f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{3}{2016}$）+…+f（$\frac{4031}{2016}$）的值為4031．

Answer 1

分析 當(dāng)x≠1時(shí)，f（x）+f（2-x）=$\frac{x+1}{x-1}$+$\frac{2-x+1}{2-x-1}$=$\frac{x+1}{x-1}$+$\frac{3-x}{1-x}$=2，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=1，由此能求出f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{3}{2016}$）+…+f（$\frac{4031}{2016}$）的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{x-1}，x≠1}\\{1，x=1}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)x≠1時(shí)，
f（x）+f（2-x）=$\frac{x+1}{x-1}$+$\frac{2-x+1}{2-x-1}$=$\frac{x+1}{x-1}$+$\frac{3-x}{1-x}$=2，
∴f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{3}{2016}$）+…+f（$\frac{4031}{2016}$）
=2015×[f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{4031}{2016}$）]+f（$\frac{2016}{2016}$）
=2015×2+1
=4031．
故答案為：4031．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出f（x）+f（2-x）=2．