Question

2．已知命題p：焦點在x軸上的橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的離心率e∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；q：點P（1，-1）在圓x²+y²-4x+7-m=0外．若p∧q為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 對于命題p：由于橢圓的焦點在x軸上，則4＞m＞0，且e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{m}{4}}$∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），解得m范圍；q：利用點與圓的位置關(guān)系可得m的取值范圍．求出其交集即可得出．

解答 解：命題p：焦點在x軸上的橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1，則4＞m＞0，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{m}{4}}$∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），解得2＜m＜4；
q：∵點P在圓x²+y²-4x+7-m=0外．把點P（1，-1）代入圓的方程可得：1²+（-1）²-4×1+7-m＞0，解得m＜5．
∵p∧q為真命題，∴$\left\{\begin{array}{l}{2＜m＜4}\\{m＜5}\end{array}\right.$，解得2＜m＜4．
∴實數(shù)m的取值范圍是2＜m＜4．

點評 本題考查了復(fù)合命題真假的判定方法、橢圓的性質(zhì)、點與圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．