Question

9．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-1|．
（1）求證：f（x）的最小值等于2；
（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b，$|{2a+b}|+|a|-\frac{1}{2}|{a+b}|f（x）≥0$，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，證明f（x）的最小值等于2；
（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b，$|{2a+b}|+|a|-\frac{1}{2}|{a+b}|f（x）≥0$，分類討論，當(dāng)且僅當(dāng)$-\frac{1}{2}≤x≤\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=2．，即可求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答 （1）證明：∵|2x+1|+|2x-1|=|2x+1|+|1-2x|≥|（2x+1）+1-2x|=2，∴f（x）≥2．
當(dāng)且僅當(dāng)（2x+1）（1-2x）≥0時(shí)“=”成立，即當(dāng)且僅當(dāng)$-\frac{1}{2}≤x≤\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=2．
∴f（x）的最小值等于2．
（2）解：當(dāng)a+b=0即a=-b時(shí)，$|{2a+b}|+|a|-\frac{1}{2}|{a+b}|f（x）≥0$可轉(zhuǎn)化為2|b|-0•f（x）≥0，
即2|b|≥0成立，∴x∈R．
當(dāng)a+b≠0時(shí)，
∵|2a+b|+|a|=|2a+b|+|-a|≥|（2a+b）-a|=|a+b|，
當(dāng)且僅當(dāng)（2a+b）（-a）≥0時(shí)“=”成立，即當(dāng)且僅當(dāng)（2a+b）a≤0時(shí)“=”成立，
∴$\frac{{|{2a+b}|+|a|}}{{|{a+b}|}}≥1$，且當(dāng)（2a+b）a≤0時(shí)，$\frac{{|{2a+b}|+|a|}}{{|{a+b}|}}=1$，
∴$\frac{{|{2a+b}|+|a|}}{{|{a+b}|}}$的最小值等于1，
∵$|{2a+b}|+|a|-\frac{1}{2}|{a+b}|f（x）≥0$，$?\frac{{|{2a+b}|+|a|}}{{|{a+b}|}}≥\frac{1}{2}f（x）$，
∴$\frac{1}{2}f（x）≤1$，即f（x）≤2．
由（1）知f（x）≥2，∴f（x）=2．
由（1）知當(dāng)且僅當(dāng)$-\frac{1}{2}≤x≤\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=2．
綜上所述，x的取值范圍是$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．