17.在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c,已知$\overrightarrow m=(sinC,sinBcosA)$,$\overrightarrow n=(b,2c)$且$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$.
(1)求∠A的大。
(2)若$a=2\sqrt{3}$,sinB+sinC=1,求△ABC的面積S.

分析 (1)根據(jù)$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$,可得bsinC+2csinBcosA=0,由正弦定理得bc+2cbcosA=0,進(jìn)而得出.
(2)由(1)及余弦定理得a2=b2+c2+bc,了由正弦定理可得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC,化簡(jiǎn)整理再利用三角形面積計(jì)算公式即可得出.

解答 解:(1)∵$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$,∴(sinC,sinBcosA)•(b,2c)=0,
∴bsinC+2csinBcosA=0…(2分)  
由正弦定理得bc+2cbcosA=0…(4分)
∵b≠0,c≠0∴$cosA=-\frac{1}{2}$…(5分)
∵0<A<π∴$A=\frac{2π}{3}$…(6分)
(2)由(1)及余弦定理得a2=b2+c2+bc,
得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC
即${sin^2}B+{sin^2}C+sinBsinC=\frac{3}{4}$…(8分)
又sinB+sinC=1,解得$sinB=sinC=\frac{1}{2}$…(9分)
∵$a=2\sqrt{3}$∴b=c=2…(11分)
∴△ABC的面積$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×2×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、三角形面積計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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