Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2
（1）當a=-2時，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）求實數(shù)a的取值范圍，是函數(shù)f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)增函數(shù)．
（3）若x∈[-5，5]，求函數(shù)f（x）的最小值h（a）．

Answer 1

分析：（1）當a=-2時，求出函數(shù)的對稱軸，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）求出函數(shù)的對稱軸，利用函數(shù)在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)增函數(shù)，確定對稱軸和區(qū)間之間的關(guān)系．
（3）討論對稱軸和區(qū)間[-5，5]的關(guān)系，求函數(shù)f（x）的最小值h（a）．

解答：解：（1）當a=-2時，f（x）=x²-4x+2=（x-2）²-2，對稱軸為x=2，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，2]上單調(diào)遞減，在[2，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a²，對稱軸為x=-a，拋物線開口向上，
要使函數(shù)f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)增函數(shù)，則區(qū)間[-5，5]在對稱軸的右側(cè)，
即滿足-a≤-5，即a≥5．
（3）f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a²，對稱軸為x=-a，拋物線開口向上，
①若-a≤-5，即a≥5．此時f（x）在區(qū)間[-5，5]上單調(diào)遞增，
∴最小值為f（-5）=27-10a，
即h（a）=f（-5）=27-10a．
②若-5＜-a＜5，此時最小值為f（-a）=2-a²，即h（a）=f（-a）=2-a²．
③若-a≥5，即a≤-5．此時f（x）在區(qū)間[-5，5]上單調(diào)遞減，
∴最小值為f（5）=27+10a，
即h（a）=f（5）=27+10a．
綜上：h（a）=

27-10a，  a≥5 2-a2，     -5＜a＜a 27+10a，  a≤-5

．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用二次函數(shù)對稱軸和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．