Question

已知函數(shù)．（a∈R）
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）設(shè)方程x²-2ax-1=0的兩實根為m，n（m＜n），證明函數(shù)f（x）是[m，n]上的增函數(shù)．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時，，
對任意x∈（-∞，+∞），，
∴f（x）為奇函數(shù)．
當(dāng)a≠0時，，
取x=±1，得，，
∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1），
∴函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
（Ⅱ）證明：因為，
所以
=
設(shè)g（x）=x²-2ax-1，當(dāng)x∈[m，n]時，g（x）≤0，即x²-2ax-1≤0，
-4（x²-2ax-1）≥0，
∴．
所以f（x）在區(qū)間[m，n]上是增函數(shù)．
分析：（Ⅰ）結(jié)合題意分別討論：當(dāng)a=0時與當(dāng)a≠0時，函數(shù)的奇偶性，當(dāng)a≠0時，取x=±1，得，，即可得到答案．
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)判定其導(dǎo)數(shù)與0的大小，即可得到答案．
點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，并且熟練利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性．