Question

已知函數(shù)，其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在原點處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，先對函數(shù)求導(dǎo)，然后求出 f'（0），即取消在原點處的切線斜率，可求得曲線y=f（x）在原點處的切線方程
（Ⅱ）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（III）由（Ⅱ）中函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可求出函數(shù)的最值取得的條件，然后可求a的范圍
解答：（Ⅰ）解：當(dāng)a=1時，，．    …（2分）
由 f'（0）=2，得曲線y=f（x）在原點處的切線方程是2x-y=0．…（3分）
（Ⅱ）解：對函數(shù)求導(dǎo)可得，                          …（4分）
①當(dāng)a=0時，．
所以f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減．          …（5分）
當(dāng)a≠0，．
②當(dāng)a＞0時，令f'（x）=0，得x₁=-a，，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-		+		-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

故f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，-a），；單調(diào)增區(qū)間是．  …（7分）
③當(dāng)a＜0時，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	↗	f（x2）	↘	f（x1）	↗

所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是，（-a，+∞）．…（9分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，a=0時不合題意．                       …（10分）
當(dāng)a＞0時，由（Ⅱ）得，f（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最大值．
設(shè)x為f（x）的零點，易知，且．從而x＞x時，f（x）＞0；x＜x時，f（x）＜0．
若f（x）在[0，+∞）上存在最小值，必有f（0）≤0，解得-1≤a≤1．
所以a＞0時，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范圍是（0，1]．…（12分）
當(dāng)a＜0時，由（Ⅱ）得，f（x）在（0，-a）單調(diào)遞減，在（-a，+∞）單調(diào)遞增，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最小值f（-a）=-1．
若f（x）在[0，+∞）上存在最大值，必有f（0）≥0，解得a≥1，或a≤-1．
所以a＜0時，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范圍是（-∞，-1]．
綜上，a的取值范圍是（-∞，-1]∪（0，1]．                    …（14分）
點評：本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔試題