Question

10．已知拋物線C：y²=2px（p＞0），過點A（12，0）作直線MN垂直x軸交拋物線于M、N兩點，ME⊥ON于E，AE∥OM，O為坐標原點．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）是否存在直線l與拋物線C交于G、H兩點，且F（2，-2）是GH的中點．若存在求出直線l方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推出|OM|=|ON|．利用A是MN中點，推出E是ON中點，又ME⊥ON，判斷△OMN是等邊三角形，求出$M（{12，4\sqrt{3}}）$，然后求出p．
（Ⅱ）設(shè)l方程為y+2=k（x-2），與y²=4x聯(lián)立，設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），利用韋達定理以及判別式求出k，推出直線方程．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）因為MN垂直x軸，所以M、N關(guān)于x軸對稱，所以|OM|=|ON|．（1分）
又因為A是MN中點，AE∥OM，所以E是ON中點，（3分）
又ME⊥ON，所以|OM|=|MN|，所以△OMN是等邊三角形，所以∠MOA=30°，（5分）
所以$M（{12，4\sqrt{3}}）$，代入y²=2px，得p=2．（6分）
（Ⅱ）顯然l的斜率存在，且不為零．（7分）
設(shè)l方程為y+2=k（x-2），與y²=4x聯(lián)立，整理得ky²-4y-8k-8=0，①（9分）
設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），因為F（2，-2）是GH的中點
所以${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}=2×（{-2}）$，得k=-1，（10分）
因為k=1時，方程①的△＞0，（11分）
所以l存在，方程為x+y=0．（12分）

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力．