Question

已知數(shù)列{a_n}的首項為2，且對于任意的正整數(shù)n，都有a_n+1=a_n+n+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）若b_n=

1

an-1

，數(shù)列{b_n}的前項n和為T_n，試證明T_n＜2．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1=a_n+n+1，得a_n+1-a_n=n+1，由此利用累加法能求出a_n=

n2

2

+

n

2

+1．
（2）b_n=

1

an-1

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此利用裂項求和法能證明T_n＜2．

解答： 解：（1）∵a_n+1=a_n+n+1，
∴a_n+1-a_n=n+1，
a_n-a_n-1=n，
a_n-1-a_n-2=n-1，
…
a₂-a₁=2，
各式相加，
a_n-a₁=2+3+…+n=

(n+2)(n-1)

2

，
∴a_n=

n2

2

+

n

2

+1．
（2）b_n=

1

an-1

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）＜2，
∴T_n＜2．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項法的合理運用．