【題目】已知x∈(1,+∞),函數(shù)f(x)=ex+2ax(a∈R),函數(shù)g(x)=| ﹣lnx|+lnx,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)若a=﹣ ,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:當(dāng)a∈(2,+∞)時(shí),f′(x﹣1)>g(x)+a.

【答案】
(1)解:當(dāng)a=﹣ ,f(x)=ex﹣e2x,x∈(1,+∞),

f′(x)=ex﹣e2,

當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f′(x)<0,f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增


(2)證明: x∈(1,+∞),f′(x﹣1)=ex1+2a,

g(x)=| ﹣lnx|+lnx= ,

①1<x<e時(shí),證明當(dāng)a∈(2,+∞)時(shí),f′(x﹣1)>g(x)+a,

即證明:ex1+2a> +a,a>2,

即a> ﹣ex1,

只需證明h(x)= ﹣ex1≤2在(1,e)恒成立即可,

h′(x)=﹣ ﹣ex1<0,h(x)在(1,e)遞減,

h(x)最大值=h(1)=e﹣1<2,

∴a> ﹣ex1,

∴1<x<e時(shí),當(dāng)a∈(2,+∞)時(shí),f′(x﹣1)>g(x)+a;

②x≥e時(shí),證明當(dāng)a∈(2,+∞)時(shí),f′(x﹣1)>g(x)+a,

即證明:ex1+2a>2lnx﹣ +a,a>2,

令m(x)=ex1﹣2lnx+ +a,(a>0,x≥e),

m′(x)=﹣ +ex1,顯然m′(x)在[e,+∞)遞增,

而m′(e)= ≈0,m′(3)≈6,

近似看成m(x)在[e,+∞)遞增,

∴m(x)>m(x0)≈m(e)=ee1+a﹣1>ee1+1>0,

綜上,當(dāng)a∈(2,+∞)時(shí),f′(x﹣1)>g(x)+a


【解析】(1)把a(bǔ)=﹣ 代入函數(shù)解析式,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)求出f′(x﹣1)的表達(dá)式以及g(x)的分段函數(shù),通過(guò)討論1<x<e和 x≥e的范圍分別證明得答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.2
B.3
C.4
D.5

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優(yōu)(個(gè))

28

良(個(gè))

32

30

已知在這180個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè),恰好抽到記錄城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的數(shù)據(jù)的概率為0.2.

(1)現(xiàn)按城市用分層抽樣的方法,從上述180個(gè)數(shù)據(jù)中抽取30個(gè)進(jìn)行后續(xù)分析,求在城中應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù);

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