Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，則稱x為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)．如果函數(shù)有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0、2，且．
（1）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））從左到右依次是函數(shù)y=f（x）圖象上三點(diǎn)，其中1＜x_i＜2（i=1，2，3），求證：△ABC是鈍角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)f（x）=x有兩個(gè)根0、2，轉(zhuǎn)化為二次方程求出b、c的值代入函數(shù)f（x）后求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系求單調(diào)區(qū)間．
（2）先表示出向量BA、向量BC，根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算求出角B的余弦值小于0得到B為鈍角，從而得證．
解答：解：（1）設(shè)∴
∴
由
又∵b，c∈N*∴c=2，b=2
∴6′
于是
由f'（x）＞0得x＜0或x＞2；由f'（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜2
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞），
單調(diào)減區(qū)間為（0，1）和（1，2）
（2）證明：據(jù)題意A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））且x₁＜x₂＜x₃，
由（1）知f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），
∴∴14′
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0
∴
即△ABC是鈍角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，以及向量的數(shù)量積運(yùn)算．屬基礎(chǔ)題．