Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0，一條斜率等于1的直線L與圓C交于A，B兩點．
（1）求弦AB最長時直線L的方程
（2）求△ABC面積最大時直線L的方程
（3）若坐標原點O在以AB為直徑的圓內，求直線L在y軸上的截距范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求弦AB最長時直線L的方程，依據(jù)圓的特征：圓的直徑是最長的弦，只須求出l過圓心時的方程即可；
（2）欲求△ABC面積最大時直線L的方程，因其兩腰定長，故只須頂角為直角時面積最大，最后利用點到直線的距離公式求解即可；
（3）將直線的方程代入圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數(shù)的關系AB的中點坐標，最后利用|OM|＜即可求得截距范圍，從而解決問題．
解答：解：（1）∵L過圓心時弦長AB最大，圓心坐標為（1，-2），∴L的方程為x-y-3=0（4分）
（2）△ABC的面積，
當∠ACB=時，△ABC的面積S最大，
此時△ABC為等腰三角形
設L方程為y=x+m，則圓心到直線距離為
從而有
m=0或m=-6則L方程為x-y=0或x-y-6=0（8分）
（3）設L方程為y=x+b（4）
由
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則A，B兩點的橫坐標為方程（*）的解，
由
AB的中點坐標為M
AB=
由題意知：|OM|＜⇒b²+3b-4＜0⇒-4＜b＜1（14分）
點評：本小題主要考查直線的一般式方程、直線和圓的方程的應用、點到直線的距離公式等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．