Question

【題目】如圖所示，四棱錐中，菱形所在的平面，是中點，是上的點．

（1）求證：平面平面；

（2）若是的中點，當時，是否存在點，使直線與平面的所成角的正弦值為？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）或

【解析】

(1)根據(jù)底面菱形的特點得到，再由線面垂直得到，平面，進而得到面面垂直；（2）建立空間坐標系得到線面角的表達式，求解即可.

（1）連接，因為底面為菱形，，所以是正三角形，

是的中點，，又， 平面，平面，又平面，又平面，所以平面平面．

（2）

以為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，不妨設，則，

則，設，則，又，

設是平面的一個法向量，則 ，

取，得，

設直線與平面所成角為，由，得：

．

化簡得：，解得或，

故存在點滿足題意，此時為或．