Question

12．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若cosB=$\frac{12}{13}$，sin²B=sinA•sinC，且S_△ABC=$\frac{5}{2}$，則a+c=3$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理以及余弦定理和三角形的面積公式建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵sin²B=sinA•sinC，
∴b²=ac，
∵cosB=$\frac{12}{13}$，
∴sinB=$\sqrt{1-（\frac{12}{13}）^{2}}$=$\frac{5}{13}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$ac×$\frac{5}{13}$=$\frac{5}{2}$，
得ac=13，即b²=ac=13，
∵b²=a²+c²-2accosB，
∴13=（a+c）²-2ac-2accosB=（a+c）²-2×13-2×13×$\frac{12}{13}$，
即（a+c）²=63，
即a+c=3$\sqrt{7}$，
故答案為：3$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，根據(jù)余弦定理和三角形的面積公式建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．