19．設(shè)α、β是二次方程x2-2kx+k+20=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求（α+1）2+（β+1）2的最小值，并指出取得取小值時(shí)k的值．

分析 由題意利用韋達(dá)定理、二次函數(shù)的性質(zhì)，求得（α+1）2+（β+1）2 的得最小值．

解答 解：由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{△={4k}^{2}-4（k+20）≥0}\\{α+β=2k}\\{α•β=k+20}\end{array}\right.$，∴k≥5，或 k≤-4．
∴（α+1）2+（β+1）2 =α2+β2+2α+2β+2=（α+β）2+2（α+β）-2αβ+2
=4k2+2•2k-2（k+20）+2=4k2+2k-38=${（2k+\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{153}{4}$，
故當(dāng)k=-4時(shí)，（α+1）2+（β+1）2取得最小值為18．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

9．已知實(shí)數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=ax+logax在[1，2]上最大值和最小值之差為|a2-a|+1，則實(shí)數(shù)a的值為2或$\frac{1}{2}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+a}{{{x^2}+bx+1}}$是奇函數(shù)：
（1）求實(shí)數(shù)a和b的值；
（2）證明y=f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減
（3）解不等式f（x2-x+2）＜f（4）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

7．如圖，在四面體PABC 中，面PAB，PBC，PAC兩兩垂直．
（1）求證：BC⊥AP
（2）若PA=a，PB=b，PC=c，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

14．設(shè)函數(shù)f（x）滿足$f（{\frac{1-x}{1+x}}）=1+x$，則f（0）的值為（　�。�
A．4B．3C．2D．1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．已知函數(shù)f（x）=loga（a2x+t）其中a＞0且a≠1．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，若f（x）＜x無解，求t的范圍；
（2）若存在實(shí)數(shù)m，n（m＜n），使得x∈[m，n]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域都也為[m，n]，求t的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．已知a，b，c滿足$\frac{a}{3}$+$\frac{2}$+c=0，f（x）=ax2+bx+c
（1）如果a≠0，證明af（$\frac{1}{2}$）＜0；
（2）如果a=0，試判別方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)是否有解，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．設(shè)函數(shù)$f（x）=m-\frac{2}{{{2^x}+1}}$，m∈R
（1）若f（x）為奇函數(shù)，求常數(shù)m的值；
（2）用函數(shù)單調(diào)性定義證明：f（x）在R上為增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

9．若集合A={-1，1}，B={x|mx=1}，且A∩B=B，則m的值是（　�。�
A．1B．-1C．1或-1D．1或-1或0

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