Question

【題目】已知為正整數(shù)，集合的個(gè)三元子集，，…，滿足：對(duì)任何的其他三元子集，均存在整數(shù)和子集使得．求的最小值．

Answer 1

【答案】

【解析】

若、、，且，

則稱(chēng)是長(zhǎng)為的“循環(huán)組”，并約定、、為同一個(gè)循環(huán)組．

考慮長(zhǎng)為的循環(huán)組的數(shù)目．

、、、中有兩個(gè)相等的循環(huán)組有個(gè)；

若，、、、互不相等的循環(huán)組個(gè)數(shù)為；

若，互不相等的循環(huán)組個(gè)數(shù)為．

綜上，長(zhǎng)為的不同循環(huán)組的總個(gè)數(shù)為．

對(duì)于每個(gè)長(zhǎng)為的循環(huán)組，取集合的一個(gè)三元子集，存在一個(gè)子集與之對(duì)應(yīng)，且易驗(yàn)證不同的循環(huán)組對(duì)應(yīng)的子集也不同，從而，．

另一方面，對(duì)于前面的個(gè)循環(huán)組中的每個(gè)，取與之對(duì)應(yīng)的子集，共得到個(gè)不同子集．

接下來(lái)說(shuō)明這些子集滿足要求．

事實(shí)上，對(duì)集合的每個(gè)子集（不妨設(shè)），

令，，．

則得到一個(gè)長(zhǎng)為的循環(huán)組，

該循環(huán)組對(duì)應(yīng)的子集滿足存在整數(shù)（或或）使得

．

綜上，．