Question

2．已知0＜x＜$\frac{π}{2}$，sinx-cosx=$\frac{π}{4}$，存在a，b，c（a，b，c∈N^*），使得（a-π^b）tan²x-ctanx+（a-π^b）=0，則2a+3b+c=（　�。�

• A． 50
• B． 70
• C． 110
• D． 120

Answer 1

分析 將sinx-cosx=$\frac{π}{4}$兩邊平方，再將等式兩邊同時(shí)除以sin²x+cos²x，分子分母同時(shí)除以cos²x得到關(guān)于tanx的方程，根據(jù)演繹推理得到所求．

解答 解：將sinx-cosx=$\frac{π}{4}$，兩邊平方得：sin²x-2sinxcosx+cos²x=$\frac{{π}^{2}}{16}$，
等式兩邊同時(shí)除以sin²x+cos²x，得：$\frac{si{n}^{2}x-2sinxcosx+co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=$\frac{{π}^{2}}{16}$，
分子分母同時(shí)除以cos²x，得：$\frac{ta{n}^{2}x-2tanx+1}{ta{n}^{2}x+1}$=$\frac{{π}^{2}}{16}$，
化簡(jiǎn)整理得（16-π²）tan²x-32tanx+（16-π²）=0，
而存在a，b，c（a，b，c∈N^*），使得（a-π^b）tan²x-ctanx+（a-π^b）=0，
∴a=16，b=2，c=32，
即2a+3b+c=32+6+32=70．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了簡(jiǎn)單的演繹推理，以及三角函數(shù)恒等變換，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．